標準偏差は、データが平均からどれだけ散らばっているかを、元のデータと同じ単位で表した値です。記号はσ（シグマ）。求め方は「偏差を二乗して平均し、その平方根を取る」の一本道で、途中に出てくるのが分散です。この記事では、5個の実データを使った計算表で手順を1行ずつ追い、母集団と標本で式がどう変わるか、エクセルのSTDEV.PとSTDEV.Sをどちらで使うか、そして「標準偏差が10」と言われたときに何を意味するのかまで扱います。
まとめ：標準偏差の求め方と式の使い分け
結論を先に置きます。式は2つしかなく、割る数がnかn−1かの違いだけです。
| 論点 | 結論 |
|---|---|
| 求め方 | 偏差平方和を割って平方根を取る |
| 母集団標準偏差 σ | n で割る（対象が全数） |
| 標本標準偏差 s | n−1 で割る（一部から推定） |
| 分散との違い | 分散は二乗の単位のまま |
| エクセル | STDEV.P（母集団）／STDEV.S（標本） |
| 値の大小 | 単位依存。CVか±1σで読む |
| 偏差値 | 50 + 10 ×（得点−平均）÷ 標準偏差 |
迷ったらSTDEV.Sを選んでください。実務で手元にあるデータは、たいてい母集団の一部を抜き出した標本です。以降では、この表の各行を実際の数値でたどります。
標準偏差とは：平均と同じ単位で表すばらつきと記号σ
標準偏差とは、データが平均からどれだけ離れて散らばっているかを1つの数値に要約した指標です。平均値だけでは分布の中心しかわかりません。平均点が80点のクラスでも、全員が78〜82点に固まっている場合と、60点と100点に割れている場合では、指導の打ち手がまるで変わります。この「どれだけ割れているか」を測るのが標準偏差の役目です。
単位は元データの単位をそのまま引き継ぎます。点数のデータなら「点」、身長のデータなら「cm」、株価の日次リターンなら「%」。だから平均と直接足し引きでき、「平均80点、標準偏差14点」のように並べて書けます。記号の使い分けも決まっており、母集団を対象にした標準偏差がσ（シグマ）、標本から求めた標準偏差がs、分散はそれぞれσ²とs²です。ギリシャ文字が母集団の真の値、ラテン文字が標本からの推定値、という書き分けが統計学の慣例になっています。
標準偏差の求め方：計算表でたどる5ステップ
ここが本題です。5人のテスト得点「60, 70, 80, 90, 100」を例に、途中の数値をすべて出します。
母集団と標本で変わる2つの計算式
基本形は次の2つです。
- 母集団標準偏差：σ = √( 偏差平方和 ÷ n )
- 標本標準偏差：s = √( 偏差平方和 ÷ (n−1) )
偏差平方和とは「各データから平均を引いた値（偏差）を二乗して、すべて合計したもの」で、nはデータの個数です。この偏差平方和はどちらの式でも共通に使います。つまり計算の手間は同じで、最後に何で割るかだけが分かれます。n−1で割る理由は後述しますが、標本から計算するとばらつきを小さく見積もる性質があり、それを補正するためです。
得点60・70・80・90・100で偏差平方和1000を出すまで
ステップ1、平均を出します。(60+70+80+90+100) ÷ 5 = 80。ステップ2から4を表にまとめます。
| 得点 x | 平均（S1） | 偏差 x−80（S2） | 偏差の二乗（S3） |
|---|---|---|---|
| 60 | 80 | -20 | 400 |
| 70 | 80 | -10 | 100 |
| 80 | 80 | 0 | 0 |
| 90 | 80 | 10 | 100 |
| 100 | 80 | 20 | 400 |
| 合計（S4） | – | 0 | 1000 |
S1からS4はステップ1から4に対応します。偏差の列の合計が必ず0になる点に注目してください。プラスとマイナスが打ち消し合うので、偏差をそのまま平均してもばらつきは測れません。二乗するのはこれを避けるためです。
ステップ5で割って平方根を取ります。母集団として扱うなら 1000 ÷ 5 = 200 が分散、その平方根 √200 = 14.1421… で、標準偏差は約14.14点。標本として扱うなら 1000 ÷ 4 = 250 が不偏分散、√250 = 15.8113… で約15.81点です。同じデータでも、nで割るかn−1で割るかで1.7点ほどずれます。
検算と、電卓・スマホでの平方根の出し方
手計算で誤差が生まれやすいのは、平均を四捨五入してから偏差を出すパターンです。平均が80.333…のようなときに80と丸めると、偏差平方和の段階で誤差が積み上がります。平均は割り切れなければ分数のまま持ち越すか、桁を落とさずに次へ渡してください。
平方根はスマートフォンの電卓アプリを横向きにすると√キーが出ます。Windowsの電卓なら標準モードにもx²と²√xがあります。検算に使うのは上限です。母集団標準偏差は、データの範囲（最大−最小）の半分を超えることが数学的にありません。この例なら範囲40点に対して上限は20点で、算出した14.14点は範囲に収まっています。ただしこの上限が効くのは母集団標準偏差σのほうで、n−1で割る標本標準偏差sは、データ数が少ないと範囲の半分を超えることがあります。上限を超えたり桁が1つずれたりしていれば、割る数か二乗のどこかが間違いです。プログラムで確認したい場合は、Python statisticsモジュールのstdevとpstdevを使うと2行で同じ値が得られます。
分散の求め方と標準偏差との違い：二乗のままか、単位を戻すか
分散の求め方は「偏差平方和 ÷ n（標本なら n−1）」で、標準偏差の一歩手前で出てくる値です。分散と標準偏差は別物ではなく、分散の正の平方根が標準偏差にあたります。上の例なら、母分散200に対して母標準偏差14.14、不偏分散250に対して標本標準偏差15.81という対応です。
違いは単位にあります。得点のデータなら分散の単位は「点²」で、現実に対応する量がありません。平均80点に対して「分散200点²」と言われても、どの範囲に生徒が散っているのか想像できないはずです。平方根を取って14.14点にすると、「平均から上下14点あたりが標準的な散らばり」と読めます。
では分散に出番がないかというと、そうではありません。分散は足し算ができます。独立な2つの量を合計したとき、合計の分散は各分散の和になりますが、標準偏差は単純に足せません。分散分析（ANOVA）や回帰分析では平方和を要因ごとに分解するため分散のまま扱い、報告書には単位が戻る標準偏差を載せる、という使い分けになります。
標本標準偏差と母標準偏差：n−1で割る理由と選び方
母集団は調べたい対象の全体、標本はそこから抜き出した一部です。全校生徒500人全員の点数が手元にあるなら母集団、そのうち50人分を抜き出したなら標本になります。無作為抽出（ランダムサンプリング）で選んだ50人から全校のばらつきを推定する、という場面が標本標準偏差の典型です。
n−1で割るのは、標本の偏差が「標本平均」からの距離で測られるためです。標本平均は、その標本にとって偏差平方和が最小になる位置に自動的に来ます。母集団の真の平均から測った場合を上回ることは決してなく、たいていは小さめに出る。この過小評価を打ち消す補正が、分母をnからn−1へ1つ減らす操作です。この補正を入れた分散を不偏分散、その平方根を不偏標準偏差（標本標準偏差）と呼びます。
なお、不偏分散は母分散の不偏推定量ですが、その平方根である標本標準偏差は厳密には母標準偏差の不偏推定量になりません。平方根が非線形な変換だからです。実務でこの差を気にする場面はほぼありませんが、「n−1にすれば完全に補正される」という説明は正確ではない、という点だけ押さえておいてください。判断そのものは単純で、全数を持っているならn、一部から推定するならn−1です。
エクセルでの求め方：STDEV.PとSTDEV.Sの使い分けと関数の落とし穴
手計算の構造がわかれば、あとは関数1つです。ただし似た名前の関数が6つあります。まず現行の4つを表で押さえ、互換用の2つは後述します。
現行4関数の対応表と選び方
| 関数 | 対象 | 計算法 | 論理値・文字列 |
|---|---|---|---|
| STDEV.S | 標本 | n−1法 | 無視する |
| STDEV.P | 母集団 | n法 | 無視する |
| STDEVA | 標本 | n−1法 | TRUE=1、文字列とFALSE=0 |
| STDEVPA | 母集団 | n法 | TRUE=1、文字列とFALSE=0 |
書式は STDEV.S(数値1,[数値2],...) で、A1からA5にデータがあれば =STDEV.S(A1:A5) と入力するだけです。先ほどの5件（60〜100）なら、STDEV.Sが15.8113883、STDEV.Pが14.1421356を返します。Microsoftの公式ドキュメントは、STDEV.Sについて「引数を母集団の標本であると見なします」「標準偏差は、n-1 法を使って計算されます」、STDEV.Pについて「引数を母集団全体であると見なします」「標準偏差は、n 法を使って計算します」と明記しています。適用対象として挙げられているのは、Microsoft 365 と Excel 2024・2021・2019・2016（いずれもMac版を含む）です。
空白セル・文字列で結果が変わる場面
STDEV.SとSTDEV.Pは、範囲参照の中の「空白セル、論理値、文字列、またはエラー値はすべて無視されます」（Microsoft公式）。アンケートの未回答セルが空欄で残っていても、その行は件数に数えられず飛ばされます。便利な半面、落とし穴でもあります。未回答を0点として扱いたいなら、空欄には0を入力してください。STDEVAへ切り替えても解決しません。STDEVAのリファレンスも「配列またはセル範囲の参照に含まれる空白セルと文字列は無視されます」としており、空白の扱いは同じだからです。
ところが、そのSTDEVAの文字列の扱いは、公式ドキュメントの中で記述が割れています。関数リファレンスは上のとおり「空白セルと文字列は無視されます」とする一方、Microsoft Learnのサポート記事「Excel 統計関数 STDEVPA と STDEVP の違い」は「テキスト文字列を値 0 として解釈します。空白のセルは無視されます。これらの解釈は、COUNTA、AVERAGEA、STDEVA 関数にも適用されます」と書き、テキストが0として計算に入ることを示す検証用ワークシートまで載せています。「未回答」「該当なし」といった文字列が混ざった列にSTDEVAを当てるのは避けてください。どちらの解釈で動くか確かめないまま集計すると、標準偏差が実態より大きく出る可能性があります。エラー値も同様で、STDEVAのリファレンスは「エラー値または数値に変換できない文字列を指定すると、エラーになります」としています。集計前にIFERRORで取り除いておくのが確実です。
もう1つ、古いブックを引き継いだときの注意があります。拡張子のないSTDEVとSTDEVPは、Microsoftが「下位互換性のために引き続き利用可能ですが、Excel の将来のバージョンでは利用できなくなる可能性がある」と案内している互換用の関数です。計算結果はSTDEV.S／STDEV.Pと同じですが、テンプレートを更新する機会があればドット付きに置き換えておきましょう。
標準偏差の見方：「10」だけでは判断できない理由
検索でよく見かける「標準偏差が10だとどういう意味か」という問いには、単体では答えられません。標準偏差は元データの単位を引き継ぐからです。テストの点数で10なら大きなばらつき、身長のcmで10なら極端に大きい、年収の万円単位で10ならほぼ均一。同じ「10」でも意味が正反対になります。
±1σ・±2σの被覆率による読み方
データが正規分布に近い形をしているなら、平均±kσの範囲に入る割合が決まります。実際の被覆率は、±1σで68.27%、±2σで95.45%、±3σで99.73%です。逆に「ちょうど95%」を切り出したいときは±1.96σを使います（±1.96σの被覆率は95.00%）。
平均80点・標準偏差14.14点でも分布が正規分布に近い40人規模のクラスなら、およそ7割が65.9〜94.1点、95%強が51.7〜108.3点に入る計算になります。ただし、この上限は満点の100点を超えています。100点という天井があるデータに正規分布を当てはめるのは無理がある、という合図です。今回の5人のデータは点数が等間隔に並んだ形なので、±1σ（65.9〜94.1点）に入るのは70・80・90点の3人＝60%にとどまります。被覆率の目安が効くのは、値の解釈だけではありません。「そもそも正規分布とみなしてよいか」の点検にも使えます。
単位が違うデータの比較：変動係数（CV）
標準偏差を横並びで比較したいときは、平均で割った変動係数（CV）に直します。CV = 標準偏差 ÷ 平均です。冒頭のデータ（60, 70, 80, 90, 100）はCVが14.14÷80で約17.7%。同じ平均80点でも「78, 79, 80, 81, 82」というデータなら標準偏差は約1.41点、CVは約1.8%です。倍率でちょうど10倍の開きがあると読み取れます。
単位も平均も違う指標を並べる場面、たとえば製造ラインの寸法精度と歩留まり率を同じ表で管理するようなときは、標準偏差をそのまま並べても意味がありません。CVに揃えてください。ただしCVは平均が0に近いデータや、平均が負になりうるデータでは破綻します。気温の変動や損益率のように0をまたぐ量にCVを使うのは誤りです。この場合は標準偏差のまま、同一指標の期間比較にとどめます。製造ラインのばらつき管理では、標準偏差が工程能力指数（Cp・Cpk）の分母に入ります。位置づけは品質管理の全体像とQC7つ道具で整理しました。金融でリターンの標準偏差を年率換算して使う考え方は、ボラティリティの見方で扱っています。
偏差値・Zスコア・標準誤差との関係
標準偏差を分母に使う派生指標が3つあります。どれも「平均からの距離を標準偏差何個分で測る」という同じ発想です。
偏差値とZスコアの計算式
Zスコア（標準化得点）は、Z =（得点 − 平均）÷ 標準偏差。平均が0、標準偏差が1になるように変換した値です。先ほどの5人のデータで100点を取った人は、(100−80)÷14.14 = 1.41。平均より標準偏差1.41個分だけ上、という読み方をします。
偏差値は、このZスコアを平均50・標準偏差10のスケールに置き直したものです。偏差値 = 50 + 10 × Z。同じ100点の人なら 50 + 10×1.41 = 64.1 で、偏差値は約64になります。偏差値50が平均ちょうど、60なら標準偏差1個分上、70なら2個分上です。偏差値70以上が上位2.3%程度と言われるのは、正規分布で±2σの外側（4.55%）の片側だからです。
標準誤差との違い：測っている対象が別
標準誤差（SE）は、標準偏差をデータ数の平方根で割った値です。SE = s ÷ √n。標準誤差は母集団を推定する文脈の指標なので、ここでは母集団σ（14.14）ではなく標本標準偏差s（15.81）を使います。5人のデータなら 15.81 ÷ √5 = 7.07 です。
両者は測っている対象が違います。標準偏差が測るのは「個々のデータの散らばり」、標準誤差が測るのは「標本平均そのものの揺れ」です。同じ母集団から何度も標本を取り直せば、そのたびに標本平均は少しずつ変わります。その変動幅が標準誤差です。だから標準誤差はnを増やすほど小さくなりますが、標準偏差はnを増やしても母集団の真のばらつきに近づくだけで小さくはなりません。アンケート結果に「±3.1ポイント」と付いている誤差表記は、標準誤差をおよそ1.96倍した95%信頼区間の幅で、標本誤差の記事で扱っている考え方と地続きです。
よくある質問
標準偏差の公式は何ですか？
母集団標準偏差は σ = √( 偏差平方和 ÷ n )、標本標準偏差は s = √( 偏差平方和 ÷ (n−1) ) です。共通部分は「各データから平均を引いて二乗し、すべて合計する」（偏差平方和）で、最後に割る数だけが違います。全数データを持っているならn、一部を抜き出して全体を推定するならn−1を選びます。
標準偏差の計算表はどう作りますか？
列を4つ用意します。左から「データ」「平均」「偏差（データ−平均）」「偏差の二乗」です。最終行に偏差の列と偏差の二乗の列の合計を置きます。偏差の合計は必ず0になるので、0以外になったら平均か引き算を間違えています。偏差の二乗の合計が偏差平方和で、これをnまたはn−1で割れば分散、その平方根が標準偏差です。エクセルで組むなら偏差列に =A2-$B$2、二乗列に =C2^2 を入れ、合計をSUMで取ると検算に使えます。
標準偏差はいくつなら大きいと言えますか？
値だけでは決まりません。標準偏差は元データの単位を引き継ぐため、「10」が大きいかどうかは対象によって逆転します。単位や平均が違うデータを比べるなら、平均で割った変動係数（CV = 標準偏差 ÷ 平均）に直してください。同一データ内での目安が欲しい場合は、正規分布に近ければ平均±1σに68.27%、±2σに95.45%が入るという被覆率を当てます。平均±1σの幅が業務上許容できる範囲に収まっているかどうかが、実務的な判断基準になります。
標準偏差と分散の違いは何ですか？
分散の正の平方根が標準偏差です。値は一対一に対応していて、違いは単位にあります。分散は偏差を二乗した段階の値なので単位も二乗（点のデータなら点²）になり、元のデータと並べて解釈できません。標準偏差は平方根を取って元の単位に戻すため、平均と同じ軸で読めます。分散分析や回帰分析のように平方和を要因ごとに分解する計算では分散、報告書では標準偏差、という使い分けです。
エクセルで標準偏差を計算するには？
標本なら =STDEV.S(範囲)、母集団全体なら =STDEV.P(範囲) を使います。A1からA5にデータがあれば =STDEV.S(A1:A5) です。Microsoftの公式ドキュメントはSTDEV.Sを「n-1 法」、STDEV.Pを「n 法」と説明しており、適用対象はMicrosoft 365とExcel 2024・2021・2019・2016です。範囲内の空白セルは無視されるため、未回答を0として扱いたい場合は0を入力してください。
標準偏差から偏差値はどう求めますか？
偏差値 = 50 + 10 ×（得点 − 平均）÷ 標準偏差 です。得点60, 70, 80, 90, 100 のグループで100点を取った場合、平均80・標準偏差14.14（母集団として計算）なので、50 + 10 ×(100−80)÷14.14 = 約64.1 となります。偏差値50が平均ちょうど、60が標準偏差1個分上、70が2個分上です。分布が正規分布から大きく外れていると偏差値の解釈も崩れるため、少人数のテストや点数が上限に張り付いた試験では参考値として扱ってください。
