ベルヌーイ分布と二項分布の違いとは？幾何分布・多項分布との関係と期待値・分散の公式

ベルヌーイ分布は「1回の試行で成功したか（1）失敗したか（0）」を表す分布で、二項分布は「同じ試行をn回くり返したときの成功回数」を表す分布です。二項分布はベルヌーイ分布をn個足したもので、n=1の二項分布がそのままベルヌーイ分布になります。

この記事では、この2つに幾何分布（初めて成功するまでの回数）と多項分布（結果が3種類以上）を加えた4分布を、「何を数えているか」で整理します。数値例はすべてPythonのSciPyで計算した値で、ExcelとPythonのコード、ポアソン分布・正規分布で近似してよい条件、内部統制監査の「25件」サンプルが二項分布から出ている根拠も扱います。

まとめ：ベルヌーイ・二項・幾何・多項分布の違いは「数えている量」

4つの分布は、どれも「成功確率が毎回同じで、各回が独立な試行」を土台にしています。違うのは数えている量だけです。

迷ったら、試行回数nが決まっていて成功の「回数」を数えるなら二項分布、nが決まっておらず成功までの「待ち時間」を数えるなら幾何分布、結果が2種類でなく3種類以上なら多項分布です。幾何分布は「失敗回数」で定義する流儀もあり、その場合の期待値は(1-p)/pに変わります。

ベルヌーイ分布：1回の試行の成否を0と1で表す基本単位

ベルヌーイ試行の条件：結果が2つ・確率が一定・各回が独立

ベルヌーイ試行とは、結果が「成功」「失敗」の2つしかない試行のことです。コインの表裏、製品の良品・不良品、広告を見たユーザーがクリックしたかどうか、がその例です。

二項分布や幾何分布で扱うには、さらに2つの条件が必要です。成功確率pが毎回同じであること、そして前の回の結果が次の回に影響しないこと（独立）です。10本中3本が当たりのくじを戻さずに引くと、1本目の当たり確率は0.3ですが、1本目が当たりなら2本目は2/9≒0.222に下がります。このように回ごとに確率が変わる試行は、この条件を満たしません。

ベルヌーイ分布の期待値pと分散p(1-p)

成功を1、失敗を0とする確率変数Xは、P(X=1)=p、P(X=0)=1-pに従います。これがベルヌーイ分布です。

期待値は1×p + 0×(1-p) = pです。分散はE[X²] - (E[X])² = p - p² = p(1-p)で、p=0.5のとき最大の0.25になり、pが0か1に近づくほど0に近づきます。不良率2%の工程で1個を検査する場合、期待値は0.02、分散は0.0196です。

二項分布の公式：n回中ちょうどk回成功する確率

確率質量関数と二項係数nCkの役割

成功確率pのベルヌーイ試行をn回くり返したとき、成功回数Xがちょうどkになる確率は次の式で求まります。

P(X=k) = nCk × p^k × (1-p)^(n-k)　（k = 0, 1, …, n）

p^k × (1-p)^(n-k)は「成功k回・失敗n-k回が特定の順番で並ぶ確率」です。ところが成功がどの回に来るかの並び方は1通りではありません。その並び方の数を数えるのが二項係数nCk = n! / (k!(n-k)!)です。50個中2個が不良になる並び方なら、50C2 = 1,225通りあります。Excelでは=COMBIN(50,2)、Pythonではmath.comb(50, 2)で求まります。この分布を記号でB(n, p)と書きます。

期待値np・分散np(1-p)がベルヌーイ分布の和から出る理由

二項分布の成功回数Xは、n回分のベルヌーイ変数X₁, X₂, …, X_nの合計です。期待値は和に分けられるので、E[X] = p + p + … + p = npです。各回が独立なら分散も和に分けられ、V[X] = np(1-p)、標準偏差は√(np(1-p))になります。

公式を暗記しなくても、「1回分の期待値pと分散p(1-p)をn倍する」と覚えておけば導けます。分散と標準偏差の関係そのものは標準偏差の求め方と分散との違いで説明しています。

例題：不良率2%の工程から50個を抜き取ったときの不良数

不良率が2%で安定している工程から、製品を50個抜き取って検査します。不良数XはB(50, 0.02)に従います。

期待値は50 × 0.02 = 1.0個、分散は50 × 0.02 × 0.98 = 0.98、標準偏差は約0.99個です。不良率2%が正常でも、4回に1回は2個以上の不良が見つかる計算になります。「2個出たから工程が悪化した」と判断するのは早い、ということがこの表から読めます。

二項分布を使ってはいけない場面：戻さない抽出と確率が変わる試行

二項分布は「各回の成功確率が同じ」ことを前提にしています。有限個のロットから抜き取った製品を戻さない検査では、1個抜くたびに残りの不良率が変わるため、厳密には超幾何分布に従います。

100個中5個が不良のロットから10個抜いて不良0個の確率は、超幾何分布で0.5838、二項分布B(10, 0.05)で0.5987です。ロットが10,000個（不良500個）なら超幾何分布でも0.5986となり、二項分布とほぼ一致します。逆に100個から30個を抜くと、不良0個の確率は超幾何分布で0.1608、二項分布で0.2146と、二項分布が3割以上大きく出ます。ロットに対して抜き取り数が大きいときは二項分布で代用しないでください。

もう1つの失敗パターンは、独立でない試行です。同じユーザーが何度も訪問するサイトで「訪問ごとの購入有無」を二項分布で扱うと、同一人物の行動が相関するため、分散を実際より小さく見積もります。ユーザー単位に集計し直してから使うのが安全です。

ベルヌーイ分布と二項分布の違いが実務で問題になるデータの粒度

数式の上では「n=1かどうか」の違いですが、データ分析ではデータの粒度の違いとして現れます。1行が1ユーザーで「購入した＝1／しない＝0」のフラグを持つ表は、各行がベルヌーイ分布に従う観測値です。これを「1,000人中32人が購入」と集計した値は二項分布に従います。

この区別が効いてくるのは推定と検定です。購入率の標準誤差は、ベルヌーイ分布の分散p(1-p)をnで割った√(p(1-p)/n)で、集計値から計算しても個票から計算しても同じになります（個票でSTDEV.Sなどn-1で割る関数を使うと、nが小さいときにわずかにずれます）。標準誤差の考え方は標準誤差の求め方と標準偏差との違い、2つの購入率に差があるかの判定はABテストの必要サンプル数と判定条件で扱っています。観測された成功回数から最も当てはまるpを探す手順は、尤度と最尤推定の典型例でもあります。

幾何分布：初めて成功するまでの回数と2つの定義

「試行回数」と「失敗回数」の2つの定義：期待値1/pと(1-p)/pの違い

幾何分布は、成功確率pのベルヌーイ試行を成功するまでくり返したときの回数の分布です。二項分布と違って試行回数nは決まっておらず、数えるのは「成功までにかかった回数」です。

注意したいのは、定義が2通りあることです。

• 成功した回を含む試行回数（1, 2, 3, …）：P(X=k) = (1-p)^(k-1) × p、期待値1/p
• 成功する前の失敗回数（0, 1, 2, …）：P(Y=k) = (1-p)^k × p、期待値(1-p)/p

分散はどちらも(1-p)/p²で同じです。SciPyのscipy.stats.geomは前者（k≧1）を採用しており、ドキュメントにはgeom.pmf(k, p, loc)がgeom.pmf(k - loc, p)と等しいと書かれています。失敗回数で数えたいときはloc=-1を指定します。教科書や問題集の答えとSciPyの結果が1ずれるときは、まずこの定義の違いを疑ってください。

例題：成約率20%の商談で初受注までにかかる件数

1件あたりの成約率が20%で、各商談の結果が独立だとします。初めて受注するまでの商談件数は、p=0.2の幾何分布に従います。

期待値は1 / 0.2 = 5件、分散は0.8 / 0.04 = 20です。1件目で受注する確率は0.2、ちょうど5件目で初受注する確率は0.0819、10件以内に1件は受注できる確率は0.8926です。平均5件でも、10件回って1件も取れない確率が約11%残ります。

幾何分布の無記憶性：過去の失敗回数に左右されない次回の成功確率

幾何分布には「すでにm回失敗していても、そこから先の回数の分布は最初と同じ」という無記憶性があります。式ではP(X > m + k | X > m) = P(X > k)です。離散型の分布でこの性質を持つのは幾何分布だけです。

「10回外れたから次は当たりやすい」という直感はこの性質に反します。逆に、失敗が続くほど成功確率が上がる仕組み（ガチャの天井や、架電リストの優先度調整など）がある場合は、幾何分布の前提が崩れています。

多項分布：結果が3種類以上ある試行への二項分布の拡張

確率の式と例題：3択の設問を10人に聞いた結果

多項分布は、1回の試行の結果がk種類（確率p₁, …, p_k、合計1）あり、それをn回くり返したときの「各結果の出現回数の組」の分布です。k=2なら二項分布そのものです。

P(X₁=x₁, …, Xk=xk) = n! / (x₁! … xk!) × p₁^x₁ × … × pk^xk

選択肢A・B・Cの選ばれる確率が0.5・0.3・0.2の設問を10人に聞き、ちょうどA5人・B3人・C2人になる確率は、並び方の数10! / (5!3!2!) = 2,520に確率の積を掛けて0.0850です。n=1の多項分布は、1回だけ選ぶ結果の分布で、カテゴリ分布と呼ばれます。k=3の場合を三項分布と呼ぶこともあります。

多項分布の周辺分布：1つの結果だけに注目した二項分布B(n, p_A)

多項分布で1つの結果だけに注目し、残りを「それ以外」としてまとめると二項分布になります。上の例でAが5人になる確率は、BとCを区別せずB(10, 0.5)として計算した0.2461と一致します。各結果の期待値npiと分散npi(1-pi)が二項分布と同じ形になるのはこのためです。

ただし各結果の回数は独立ではありません。合計がnに固定されているので、Aが増えればBとCは減ります。2つの結果の共分散は-npipjと負になります。選択肢ごとに別々の二項検定をくり返すと、この相関を無視することになります。

ポアソン分布・正規分布で二項分布を近似できる条件

ポアソン近似：nが大きくpが小さいとき

二項分布でnが大きくpが小さいときは、平均λ = npのポアソン分布で近似できます。NIST/SEMATECHの統計ハンドブック（e-Handbook of Statistical Methods）は、目安を「nが20以上かつpが0.05以下」とし、nが100以上ならnpが10以下で近似は非常によいとしています。

同ハンドブックの例では、n=200、p=0.025でちょうど3回成功する確率が、二項分布で0.1399995、ポアソン分布（λ=5）で0.1403739です。欠陥数や問い合わせ件数のように、機会は多いが1回ごとの発生確率が小さい事象を扱うときに使います。

正規近似：np・n(1-p)がともに5以上と連続性補正

二項分布はベルヌーイ変数の和なので、nが大きくなると中心極限定理により正規分布N(np, np(1-p))に近づきます。NISTハンドブックは比率の検定の条件としてmin{Np₀, N(1-p₀)} ≧ 5を挙げ、p₀=0.1ならNは50以上必要だとしています。

条件ぎりぎりでは誤差が残ります。n=50、p=0.1でX≦2となる確率は、二項分布の正確な値が0.1117です。正規近似でX≦2をそのまま計算すると0.0786と3割小さく、0.5ずらしてX≦2.5として計算する連続性補正を入れると0.1193まで近づきます。表計算やPythonで正確な値が一瞬で出る現在は、近似を使うのは手計算や式の見通しを立てたいときだけで足ります。

分布の種類の選び方：数えている量から逆引きする判断表

「分布の種類が多くてどれを使えばよいかわからない」ときは、公式から入るより、自分が何を数えているかから逆引きするほうが確実です。ベルヌーイ試行から派生する分布と、隣接する分布を並べます。

負の二項分布は幾何分布を「r回目の成功まで」に広げたもので、r=1のとき幾何分布に一致します。指数分布は幾何分布の連続版で、回数でなく時間で「次に起きるまで」を測り、同じく無記憶性を持ちます。ポアソン分布は試行回数の上限を持たない点が二項分布と違います。「1日の訪問者1,000人中の購入者数」なら上限があるので二項分布、「1日の購入件数」だけを見て訪問者数を考えないならポアソン分布、と使い分けます。

ExcelとPythonで二項分布を計算する方法

Excel：BINOM.DISTとBINOM.INV、MULTINOMIALの落とし穴

ExcelではBINOM.DIST(成功数, 試行回数, 成功率, 関数形式)を使います。関数形式をFALSEにするとちょうどその回数になる確率、TRUEにすると0回からその回数までの累積確率を返します。先の例なら=BINOM.DIST(0,50,0.02,FALSE)が0.3642、2個以上の確率は=1-BINOM.DIST(1,50,0.02,TRUE)で0.2642です。ベルヌーイ分布は試行回数を1にすれば計算できます。

BINOM.INV(試行回数, 成功率, α)は、累積確率がα以上になる最小の成功回数を返します。Microsoftのヘルプの例ではBINOM.INV(6,0.5,0.75)が4です。累積確率の分位点を返すので、「不良がこの個数を超えたら異常とみなす」管理限界の逆算に使います。先の例で=BINOM.INV(50,0.02,0.95)は3で、不良率2%の工程で50個中4個以上の不良が出る確率は約1.8%です。

取り違えやすいのがMULTINOMIAL関数です。名前に反して多項分布の確率ではなく、多項係数（並び方の数）を返します。=MULTINOMIAL(5,3,2)は2,520で、確率にするには0.5^5*0.3^3*0.2^2を掛ける必要があります。

Python：scipy.statsで4分布をまとめて計算する

SciPy 1.13.1で実行したコードです。print1回につき出力が1行出ます。

from scipy import stats

# 二項分布：不良率2%の工程から50個を抜き取る
X = stats.binom(n=50, p=0.02)
print(round(X.pmf(0), 4), round(X.pmf(1), 4), round(X.sf(1), 4))  # 0個・1個・2個以上
print(X.mean(), round(X.var(), 4))

# 幾何分布：SciPyは「初めて成功するまでの試行回数（1始まり）」
G = stats.geom(p=0.2)
print(G.mean(), round(G.cdf(10), 4))
G0 = stats.geom(p=0.2, loc=-1)  # 「失敗回数（0始まり）」に切り替える
print(G0.mean())

# 多項分布：3択の設問を10人に聞く
M = stats.multinomial(n=10, p=[0.5, 0.3, 0.2])
print(round(M.pmf([5, 3, 2]), 4))

出力は次のとおりです。

0.3642 0.3716 0.2642
1.0 0.98
5.0 0.8926
4.0
0.085

sfは「その値より大きい確率」（1から累積確率を引いた値）なので、X.sf(1)が2個以上の確率になります。分布を使ったシミュレーションで同じ値を確かめたい場合は、モンテカルロ法の仕組みの手順がそのまま使えます。

内部統制監査の「25件」サンプル：実施基準が前提とする二項分布からの逆算

二項分布が実務の規則に直接書き込まれている例が、J-SOX（内部統制報告制度）の運用評価です。企業会計審議会が2023年4月7日に改訂し金融庁が公表した「財務報告に係る内部統制の評価及び監査に関する実施基準」は、監査人による「業務プロセスに係る内部統制の運用状況の検討」の試査について次のように書いています。

例えば、日常反復継続する取引について、統計上の二項分布を前提とすると、90%の信頼度を得るには、評価対象となる統制上の要点ごとに少なくとも25件のサンプルが必要になる。

実施基準は、25件の背景にある「許容できる逸脱率」の値を書いていません。二項分布から逆算すると次の関係になります。25件を調べて逸脱（統制が守られていない取引）が0件だった場合、母集団の逸脱率の上限は90%の信頼度で約8.8%です。逆に、許容逸脱率を9%と置くと、逸脱0件で90%の信頼度を得るのに必要な件数は0.91^n ≦ 0.1からちょうど25件になります。10%と置けば22件、5%と置けば45件です。

25件中1件でも逸脱が見つかると、逸脱率の上限は約14.7%に跳ね上がり、「9%以下」とは言えなくなります。25件は「逸脱ゼロを前提にした最小件数」であって、1件見つかったときに件数を増やすか不備として扱うかは別の判断が要ります。IT統制を含む評価手続の全体はITAC（IT業務処理統制）と実施基準が定める評価方法で整理しています。

よくある質問

二項分布B(n, p)の「B」は何の略ですか？

二項分布の英語名binomial distributionの頭文字です。binomialは「2つの項」の意味で、展開式(p + (1-p))^nの各項が、成功回数ごとの確率に対応することに由来します。二項係数nCkも、この展開式の係数です。記号B(n, p)は「試行回数n、成功確率pの二項分布」を指し、正規分布をN(μ, σ²)と書くのと同じ流儀です。

二項分布と正規分布の違いは何ですか？

二項分布は0, 1, 2, …と飛び飛びの値をとる離散型の分布で、正規分布は連続した値をとる連続型の分布です。二項分布はpが0.5でなければ左右非対称ですが、nが大きくなると中心極限定理により平均np・分散np(1-p)の正規分布に近づきます。近似の目安はnpとn(1-p)がともに5以上で、条件ぎりぎりでは0.5ずらす連続性補正を入れないと誤差が大きくなります。

ポアソン分布と二項分布はどう使い分けますか？

試行回数nの上限がわかっていれば二項分布、わからず「一定期間に何回起きたか」だけを見るならポアソン分布です。二項分布はnが大きくpが小さいとき平均npのポアソン分布で近似でき、NISTのハンドブックはnが20以上かつpが0.05以下を目安にしています。n=200、p=0.025で3回成功する確率は、二項分布で0.1400、ポアソン分布で0.1404とほぼ同じです。

二項分布の標準偏差はどう求めますか？

分散np(1-p)の平方根、√(np(1-p))です。n=50、p=0.02なら分散0.98、標準偏差は約0.99になります。Excelなら=SQRT(50*0.02*(1-0.02))、Pythonならstats.binom(50, 0.02).std()で求まります。成功回数でなく成功率（成功回数/n）の標準偏差を求めたい場合は、nで割った√(p(1-p)/n)を使います。

三項分布やカテゴリ分布とは何ですか？

どちらも多項分布の特別な場合です。三項分布は結果が3種類の多項分布で、選択肢が3つの設問をn人に聞いたときの回答数の組がこれに従います。カテゴリ分布は試行回数n=1の多項分布で、1回だけ選んだときにどの結果になるかを表します。二項分布とベルヌーイ分布の関係を、結果が3種類以上に広げたものが、多項分布とカテゴリ分布の関係です。

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