Position Based Dynamics (PBD)の実装フローとアルゴリズム詳細: ステップバイステップ解説

Position Based Dynamics (PBD)とは何か？ 基本概念と概要をわかりやすく解説

PBDが誕生した背景と従来の物理シミュレーション手法との違い

従来の物理シミュレーションでは、物体に加わる力から加速度を求め、時間積分によって速度と位置を更新する「力ベース」の手法が一般的でした。例えばニュートン力学に基づき、各時刻で内部および外部の力を合計し、質点の質量に応じた加速度を計算して速度・位置を算出します。一方、PBD（Position Based Dynamics）はこうした速度・加速度の層を排除し、物体の「位置」に直接働きかける新しいアプローチとして2000年代後半に提案されました。従来法とは異なり、PBDではオブジェクトの位置に対する制約を直接解くため、数値的に非常に安定で、衝突処理も容易になるという利点があります。力ではなく位置を基軸にシミュレーションすることで、オーバーシュート（暴走）の問題を回避し、物体同士の貫通を完全になくすことが可能です。

Position Based Dynamicsの定義と基本的な考え方

PBDは、物理演算において位置ベースの制約（Constraints）を用いる手法です。オブジェクトを多数の頂点（パーティクル、質点）で表現し、各頂点の位置関係に制約条件を設け、その制約を満たすように位置を反復的に補正します。各ステップでまず頂点の仮の新位置を計算し、その後に制約条件を適用して位置を補正、最終的に位置の変化から速度を計算するというフローを取ります。すなわち「速度から位置を求める」のではなく「位置から速度を求める」発想で、位置と速度の整合性を直接保つことができるのが特徴です。PBDの基本原理は、物体の形状や接触条件などを全て位置制約として定義し、それらを各頂点の位置に反映させることにあります。

頂点（パーティクル）ベースで計算する仕組みと特徴

PBDでは物体を構成する頂点（パーティクル）ごとの計算にフォーカスします。全ての物体は粒子（頂点）とそれらを繋ぐ制約の集合として扱われ、粒子の位置を更新することでシミュレーションが進みます。この粒子＋制約による一様な表現によって、剛体・布・柔軟物・流体といった異なる物質を統一的に扱える利点があります。各粒子は質量に応じた重みを持ち、制約の解決時に重い粒子は動きにくく、軽い粒子は動きやすいといった形で寄与します。位置ベースで直接操作するため、開発者にとって直感的なコントロールが可能であり、特定の頂点を固定したり外力を任意に適用したりといった操作も容易です。

PBDが注目される理由と利用される分野

PBDが近年注目されるのは、その数値的な安定性と実時間性能によります。特にゲーム分野では限られた計算リソースで視覚的に破綻のない物理表現が求められるため、PBDの「再現性（物理的正確さ）は多少落ちても計算負荷が小さく安定している」という特性が非常に有用です。実際、PBDを用いることで剛直なシミュレーションによく見られる発散（シミュレーションの爆発的破綻）を回避でき、時間ステップを大きめにとっても破綻しにくい安定性が得られます。また位置ベースゆえに解の収束が速く、衝突や接触の解決も位置を補正するだけで対応できるため、ゲームやインタラクティブアプリケーションで信頼性の高い挙動を実現できます。こうした理由から、PBDは主にリアルタイム性が重要なゲーム開発やVR/ARシミュレーション、さらにはインタラクティブな物理アプリケーション全般で利用されています。

ゲームエンジンやシミュレーション環境での導入事例

PBDは現在、様々なゲームエンジンやシミュレーションツールで採用されています。例えば、著者らはPBDを用いて実時間クロス（布）シミュレータを構築し、ゲーム向けの物理ライブラリに組み込んでいます。その後もNVIDIA PhysXでは布や柔軟体シミュレーションにPBDが取り入れられ、Unity向けの物理ライブラリ「Obi」でも位置ベースの手法が採用されています。近年では映像制作向けのHoudiniソフトウェアにもPBDに基づく布・柔軟体ソルバ「Vellum」が導入され、従来の有限要素法(FEM)布ソルバを置き換える形で高い安定性と扱いやすさを実現しています。このように、PBDはゲームからCG映像、VRシミュレーションまで幅広い分野で利用され、その安定かつ高速な挙動により現実的でインタラクティブな物理表現を支えています。

Position Based Dynamics (PBD)の基本原理と特徴: 制約ベースの物理シミュレーション手法

制約ベース手法の基本概念とPBDへの適用

PBDは物理現象を「制約条件」の集合として捉える枠組みです。ここで言う制約とは、質点の位置$\mathbf{p}$に関するある関数$C(\mathbf{p})=0$で表される条件（等式拘束）や、$C(\mathbf{p})\ge0$といった不等式拘束のことです。例えば、「2つの質点間の距離が一定である」という条件は$C(\mathbf{p_1},\mathbf{p_2})=|\mathbf{p_1}-\mathbf{p_2}|-d=0$と表せる等式制約になります。PBDではこのような制約を多数組み合わせ、物体の形状維持や衝突回避などを表現します。重要なのは、PBDの枠組みでは制約条件の種類は問いません。制約関数の勾配さえ計算できれば、距離・角度・体積・密度など任意の制約を導入してシミュレーションに組み込むことが可能です。こうした制約ベースの発想により、複雑な物理現象も統一的に扱える柔軟性を備えています。

速度や力を直接扱わないアプローチの利点

PBD最大の利点の一つは、力や加速度を介さず直接位置を操作することで得られる数値安定性と制御のしやすさです。位置ベースの解法では、従来の陽的な時間積分で問題となるオーバーシュート（速度積分による飛び越し）現象が起こりません。実際、PBDを用いることで速度の積分誤差による暴走が発生せず、シミュレーションのエネルギーが勝手に増加してしまうことも避けられます。また、開発者にとっては力よりも位置の方が直観的に扱いやすく、特定の頂点を目標地点に固定する、物体同士の衝突後に完全にめり込みを解消する、といった操作も容易です。さらにPBDでは解の過程で速度を考慮しないため、シミュレーション中に任意に物体の位置を修正したり外力の影響を途中で変化させたりしても安定性を損ないにくい特徴があります。このように、速度や力の層を排したPBDのアプローチは、安定で制御性の高いシミュレーションを実現しています。

反復計算による制約解決の仕組み

PBDでは、制約条件を満たすように頂点の位置を反復的（イテレーティブ）に解決します。具体的には、各タイムステップで全ての制約について「現在の頂点位置に対する誤差」を計算し、その誤差を打ち消すように頂点の位置を少しずつ補正する処理を繰り返します。複数の制約がある場合、一つの制約を満たすように位置を動かすと他の制約からズレが生じることが多いため、全制約が概ね満たされるまで何度も位置修正を繰り返すわけです。この反復解法には一般に非線形ガウス・ザイデル法が用いられ、制約を一つずつ順番に解決しては次に進む手法（シーケンシャルソルバ）が採用されます。シーケンシャルな解法は各制約の修正効果を直ちに次に反映できるため収束が速く、限られた反復回数でも制約違反を効率的に減らせる利点があります（並列的に全制約を解決する方法もありますが、通常は収束により多くの反復を要します）。このようにPBDでは反復計算によって制約を徐々に満たすアプローチを取り、高い安定性と実用的な精度を両立しています。

安定したシミュレーションを可能にする数値的特徴

PBDが安定性に優れる背景には、その数値的性質が関係しています。PBDは本質的に陰解法（インプリシット法）に分類できる手法であり、現在の位置から次の位置が満たすべき非線形方程式を立ててそれを解く形で位置を更新するものです。陰解法は一般にエネルギーが増えにくく減衰傾向をもたらすため系を安定化させる効果があります。実際PBDでも、時間ステップや拘束の剛性を大きくすると系のエネルギーはより早く減衰し、振動は速やかに収束していきます。これは物理的には不正確になる可能性があるものの、ゲームなど視覚的な目的では振動がすぐ収まり破綻しないという利点につながります。要するにPBDは手法自体に数値的な減衰効果（ダンピング）を内包しており、それがシミュレーションの安定性を飛躍的に高めているのです。結果として、大きな時間刻みでも剛体ばね的な拘束が暴走せずに済み、微小振動も速やかに沈静化するなど、頑強なシミュレーションが可能となっています。

リアルタイムレンダリングに適した設計思想

PBDはもともとリアルタイム用途を念頭に開発された経緯もあり、実時間で動作させやすい設計上の工夫がなされています。まず、前述の通りPBDは必要に応じて反復回数を調整することで精度と計算コストをトレードオフできます。制約を解決する反復回数を増やせばシミュレーション品質（制約の厳密さ）は上がりますが計算コストも増大し、反復回数を減らせば高速になりますがその分だけ布や流体がやや伸びやすくなる、といった具合です。このような「つまみ」を用意することで、シーンの要件に応じてパフォーマンスと見た目のバランスを調整できます。また、PBDは粒子単位の並列計算とも相性が良く、GPU上で多数の粒子・拘束を同時計算する実装も容易です。実際、NVIDIAのFlexライブラリでは全てを粒子と拘束で表現しGPU並列で処理することで、多様なマテリアルの大規模シミュレーションを実時間で実現しています。このようにPBDはリアルタイムレンダリングに適した柔軟性・拡張性を持ち、必要に応じて精度を犠牲にしながらも視覚的に破綻しないシミュレーションを高速に提供できるのが特徴です。

Position Based Dynamics (PBD)の実装フローとアルゴリズム詳細: ステップバイステップ解説

シミュレーション全体の計算ステップの流れ

PBDによるシミュレーションは、以下のようなステップを毎フレーム（またはサブステップ）繰り返す形で実行されます:
1. 初期化 – 質点（パーティクル）や拘束の初期設定を行う。
2. 外力の適用と予測位置の計算 – 現在の速度に重力などの外力の効果を加えて質点の速度を更新し、その速度に基づき各質点の仮の移動先（予測位置）を計算する。
3. 拘束条件の構築 – 衝突判定などを行い、各種の拘束条件（例えば衝突による非侵入条件など）をこのステップで生成する。
4. 拘束の反復解決 – 予測位置に対して全ての拘束条件を満たすように位置を修正する計算を、所定の回数繰り返し実行する。
5. 最終位置と速度の更新 – 反復計算後の最終的な質点位置を確定し、前ステップからの位置変化量から新しい速度を算出する。必要に応じて速度減衰やエネルギー損失の反映も行い、次のステップの準備とする。
以下では各ステップについて詳しく説明します。

初期化処理とパーティクルの設定方法

シミュレーション開始時には、オブジェクトを構成する質点（パーティクル）の属性と拘束条件を初期化します。質点には初期位置$\mathbf{x}{0}$、初速度$\mathbf{v}$、質量$m$（もしくは質量の逆数$w=1/m$）などが与えられます。剛体であれば質点は剛体の質量中心や代表点になりますが、布やソフトボディではメッシュ頂点一つひとつが質点として扱われます。また同時に、質点間に適用する拘束も設定しておきます。例えば布シミュレーションなら初期形状の隣接頂点間の距離を保持する「距離拘束」、曲げにくさを表現する「曲げ拘束」などをあらかじめ張り巡らせておきます。これら拘束の初期値（目標値）は通常は初期形状から計算され、例えば距離拘束なら初期頂点間距離がそのまま目標距離$d$になります。初期化処理ではこのように質点群と拘束群をシステムに登録し、シミュレーションの土台を整えます。

外力と予測位置の更新アルゴリズム

続いて、毎フレームの更新処理ではまず外力の適用と予測位置（仮位置）の計算を行います。重力や風力などの外力による影響は、いったん質点の速度に加算する形で取り入れます。例えば質点$i$の速度$\mathbf{v}_i$に重力加速度$\mathbf{g}$を$\Delta t$だけ与えて$\mathbf{v}_i \leftarrow \mathbf{v}_i + \mathbf{g}\Delta t$のように更新します。必要に応じてこの時点で速度に減衰（ダンピング）処理を入れ、空気抵抗などを近似することもあります。次に、各質点の予測位置$\mathbf{x}_i^\text{pred}$を計算します。これは現在位置に対して更新後の速度を用いて単純に$\Delta t$進めた位置です（明示的オイラー法: $\mathbf{x}_i^\text{pred} = \mathbf{x}_i + \mathbf{v}_i \Delta t$）。この予測位置は外力のみを考慮した「理想位置」ですが、まだ他の物体との衝突や拘束条件は考慮されていません。そのため、質点がこの予測位置に移動した際に障害物との衝突が発生していないかを調べ、もし侵入があればその情報から衝突制約（非侵入条件）を新たに生成します。こうして次のステップで解決すべき拘束条件のリストが出揃います。

制約の反復解決と収束判定の仕組み

前ステップで得られた予測位置に対し、設定されている全ての拘束条件を満たすように位置を修正する計算を行います。PBDではこの拘束解決を反復的に行うことで、最終的に全制約をできるだけ満たす位置を求めます（反復回数はシミュレーションの精度に応じて決められます）。各拘束条件について、現在の各質点の位置を使って制約関数$C$の値を計算し、それが目標値（通常0）からどれだけずれているかを評価します。その誤差を解消する方向に各関連質点の位置を動かすことで拘束違反を減らします。例えば二点間距離拘束で距離が離れすぎていれば、お互いを引き寄せるように2つの質点位置を近づけます（距離拘束の具体例は後述）。この操作を全拘束について順に適用し、1回のパス（一巡）で全拘束の誤差をある程度修正します。1回のパスでは完全に拘束を満たせないため、必要に応じて同じ過程を2回、3回と複数回繰り返すことで解の精度を高めます。反復回数はあらかじめ固定回数とする場合もあれば、拘束誤差が十分小さくなるまで繰り返す条件付きループとする場合もあります。いずれにせよ、この反復解決によって質点群は外力に従った理想位置から拘束条件を満たす現実的な位置へと投影（プロジェクション）されます。PBDは基本的に収束が早い手法ですが、反復回数が不足すると布が伸びやすくなる等のアーティファクトが現れるため、必要に応じて適切な回数を設定します。十分な反復後、全ての拘束条件が許容範囲内に満たされたら次のステップへ進みます。

最終的な位置・速度更新と描画への反映

拘束解決の反復処理が終了すると、その時点で得られた各質点の位置を最終位置として確定します。この新しい位置$\mathbf{x}_i^{\text{new}}$と前のステップの位置$\mathbf{x}_i^{\text{old}}$との差分から、質点の新たな速度$\mathbf{v}_i^{\text{new}}$を計算します（$\mathbf{v}_i^{\text{new}} = (\mathbf{x}_i^{\text{new}} – \mathbf{x}_i^{\text{old}})/\Delta t$）。この速度更新により、次のステップでは今回の結果を初期状態としてまた同様の計算が行われます。なお、拘束による位置修正は運動エネルギーの散逸（損失）を伴うことが多いため、必要に応じてその影響を速度に反映させます。例えば衝突によって物体が反発せず静止した場合、位置修正によって失われた運動量を速度から取り除きます（反発係数0の完全非弾性衝突のような処理）。最後に確定した質点の位置情報を描画エンジンに渡すことで、そのフレームにおけるオブジェクトの見た目（形状）が更新されます。以上の流れにより、毎フレームPBDの物理シミュレーション結果がリアルタイムにレンダリングへ反映されます。

Position Based Dynamics (PBD)における距離拘束のメカニズムとその処理方法: 詳細解説

距離拘束の数理モデルと定式化の基礎

図: 2つの質点間に距離拘束が適用された場合の概念図。一対の質点$p_1$, $p_2$の間の距離が目標値$d$になるよう、それぞれの位置を修正する。質量の大きい側の質点ほど移動量（$\Delta \mathbf{p}$）は小さく、軽い質点側が多く動く。
距離拘束とは、2つの質点間の距離が常に一定の目標値を保つようにする制約です。数式で表すと、質点$\mathbf{p}1$と$\mathbf{p}_2$の間の距離拘束は$C_{stretch}(\mathbf{p_1},\mathbf{p_2}) = |\mathbf{p_1}-\mathbf{p_2}|-d = 0$という形になります。ここで$d$は2点間の目標距離（初期の長さなど）です。この制約式$C=0$が満たされているとき、ちょうど2点間の距離が$d$に維持されていることになります。言い換えれば、距離拘束は「現在の距離と目標距離の差」がゼロであることを要求する制約です。

二点間の距離を維持するための制約式

上記の距離拘束$C_{stretch}=|\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_2|-d=0$が満たされていない場合、PBDではこの差を解消する方向に質点の位置を修正します。具体的には、現在の距離が長すぎれば2点を引き寄せ、短すぎれば押し離す形で位置を補正することになります。2点間距離拘束に対する位置修正量$\Delta \mathbf{p}$の基本式は、次のように距離の誤差項を含んだ方向ベクトルとして表せます:
• $\displaystyle \Delta \mathbf{p} = \pm (|\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_2| – d)\frac{\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_2}{|\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_2|}\,. $
この$\Delta \mathbf{p}$は「現在の距離と目標距離の差」（伸びすぎ/縮みすぎの長さ）に、2点を結ぶ単位ベクトルを掛け合わせたもので、符号$\pm$は距離が長い場合はマイナス（引き寄せ方向）、短い場合はプラス（押し離し方向）を意味します。この式は双方の質点に同じだけ反対方向の補正を加える場合の形ですが、実際には質点の質量を考慮して移動量を按分する必要があります。質点$i$の質量を$m_i$、その逆数の重みを$w_i = 1/m_i$とすると、2質点間の距離拘束による補正量は次のようになります:
• $\displaystyle \Delta \mathbf{p}_1 = -\frac{w_1}{\,w_1+w_2\,}\Big(|\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_2| – d\Big)\frac{\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_2}{|\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_2|},$
• $\displaystyle \Delta \mathbf{p}_2 = +\frac{w_2}{\,w_1+w_2\,}\Big(|\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_2| – d\Big)\frac{\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_2}{|\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_2|}.$
質量の逆数$w_i$が大きい（=質量が小さい）方の質点をより大きく動かすことで、運動量のつり合いを保ちながら拘束を満たす補正になっています。以上の計算により、一回の反復で2点間の距離誤差がゼロに近づくよう両質点の位置が更新されます。

距離拘束の反復解法と逐次的な調整手法

距離拘束も他の制約と同様、最終的に精度良く満たすためには繰り返し適用することが必要です。シミュレーションでは全ての距離拘束について上記の位置補正を順次（もしくは並列に）実行し、一巡した後でもまだ誤差が残る場合は再度初めから順に適用していきます。この逐次的な調整（Gauss-Seidel方式）により、ネットワーク状につながった多数の距離拘束でも徐々に誤差が減り、全体として安定した形状が得られます。距離拘束は計算も単純で収束も比較的速いため、位置ベースで剛性を表現する基本手段としてPBDの中核をなすものです。なお、反復回数が不十分な場合、距離拘束網の張られた物体（例えば布）が過度に伸びて見えることがありますが、これは各拘束が完全には解決されていないためです。対策として反復回数を増やすか時間ステップを小さくするといった方法で見た目上の伸びを軽減できます。

剛体やソフトボディにおける距離拘束の役割

距離拘束は剛体・軟体を問わず幅広い役割を果たします。剛体に対しては、複数の質点を距離拘束でがんじがらめに結ぶことで剛体的な挙動を近似できます。例えば一つの立方体を8つの質点で構成し各辺・対角に距離拘束を入れれば、形状を保ったまま並進・回転する剛体のような運動が実現できます（完全な剛体とするには全組み合わせの距離拘束が必要ですが、実用上は対角線など主要なものに限る形でも剛体近似が可能です）。一方、ソフトボディ（弾性体）では距離拘束はばね的な役割を果たします。三角形メッシュや四面体メッシュの各辺に距離拘束を入れれば、それらは伸びようとすると拘束が戻そうとするため、結果的にフックの法則に似た弾性を示します。PBDにおいて距離拘束の剛性を高める（反復回数を増やす）と素材は伸びにくくなり、下げると伸びやすくなるため、これを調整することで布の張りやゴムの硬さをコントロールできます。距離拘束は計算コストが低く安定性も高いため、剛体的挙動から軟質素材のたわみまで、様々な物体の挙動を支える基本的な制約要素となっています。

実装で考慮すべき数値安定性のポイント

距離拘束自体は安定な制約ですが、その実装において留意すべき点がいくつかあります。第一に、質点の質量差が大きい場合でも数値的な安定を保つために質量に応じた移動量の按分（上記$w_1,w_2$による補正）が必須です。これにより軽い質点ばかりが大きく動いてエネルギーが不自然に発散することを防ぎます。第二に、距離拘束の解決順序によっては解の収束性が影響を受けることがあります。一般にガウス・ザイデル法では順序依存性がありますが、シミュレーションではエッジをランダムな順に処理する、あるいはジャコビ法的に並列処理するなどの工夫で偏りを減らす場合もあります。第三に、距離拘束は本質的に系の運動エネルギーを減少させる効果があります。大きな時間刻みで剛な距離拘束を解決すると振動エネルギーが急速に減衰し、物体がプルプルと震えることなく早期に静止する傾向があります。このため、高い張力で長時間振動し続けるような現象をシミュレーションするには不向きですが、ゲーム用途ではむしろ安定性が増す利点と言えます。必要に応じてサブステップと呼ばれる時間刻みの細分化を行うことで、一回のサブステップあたりの減衰を小さくし、振動をある程度持続させる調整も可能です。総じて、距離拘束の実装では安定性と精度のバランスを意識し、質量按分・反復回数・タイムステップ設定などのパラメータを適切に調節することが重要です。

Position Based Dynamics (PBD)を用いたソフトボディ・流体シミュレーションへの応用例

ソフトボディ表現におけるPBDの強み

PBDはソフトボディ（可撓物）のシミュレーションに対して特に有効な手法です。布やゴムのような柔軟体では形状変形が大きく衝突も起きやすいため、数値的に安定で衝突処理が容易なPBDの利点が際立ちます。従来の質点ばねモデルや有限要素法では、時間刻みを小さくしないと剛性の高い素材（例えば張りの強い布）のシミュレーションは発散しやすい問題がありました。しかしPBDでは制約により位置を直接制御するため、時間刻みをある程度大きくしても破綻せず安定した結果が得られます。また、衝突による形状変化も位置補正で即座に対応できるため、例えば布がキャラクターにまとわりつく際にも身体をすり抜けずに確実に表面に沿わせることが容易です。さらに剛体と柔軟体の相互作用（例えば剛体球で柔らかい物体を押す等）も、両者を粒子と拘束で一元的に扱うPBDなら単一のソルバで安定に計算できます。このように、大変形への安定性や衝突応答の堅牢さといった点でPBDはソフトボディシミュレーションに大きな強みを発揮します。

布や髪の毛など柔軟体の表現方法

PBDによる布（クロス）シミュレーションでは、メッシュの各エッジに距離拘束を設定して布地が伸びないようにし、さらに曲げに対する二面角拘束（ジアhedral Constraint）を入れて布の折れ曲がりやすさを調整します。一般的な設定では、距離拘束で布の繊維の長さを保ち、二面角拘束で布の曲げ剛性を表現します。この組み合わせにより布は引っ張りにはほぼ抵抗しつつ、ある程度しなやかに折りたためる特性が再現できます。「布は伸びず曲がるだけ」という挙動を満たすのにPBDの制約ベース手法は非常に適しているわけです。髪の毛（あるいはロープ）のシミュレーションでもPBDが活用されており、一連の粒子を距離拘束で繋いだ質点鎖モデルによって、しなやかで絡みにくい紐状の挙動を再現できます。複数の髪の毛同士の衝突も、粒子同士の衝突制約を導入することで相互の絡まりや押し戻しを表現できます。これら布や髪のシミュレーションはゲームエンジンでも広く使われており、PBDによりリアルタイムに自然な柔軟体挙動が描画されています。

流体シミュレーションでの粒子モデルとPBDの適用

PBDは流体シミュレーションにも応用されています。粒子ベースの流体モデルにPBDの考え方を導入したPosition Based Fluids (PBF)では、流体粒子に対して密度の制約を課すことで液体の非圧縮性を表現します。具体的には、ある粒子の近傍に存在する他の粒子の数（密度）が高すぎれば互いに押し合って離れるように位置を補正し、密度が低ければ引き寄せるよう補正することで、粒子群の密度が常に目標とする液体の密度に保たれるようにするのです。これにより、水や砂といった流体の体積がほぼ一定に保たれ、時間刻みが大きくても数値的に安定した流体挙動が実現できます。Macklinらによる2013年の研究ではこの手法によってリアルタイムで水や泡の挙動を再現し、従来のSPH法に比べて大きな時間ステップでも安定にシミュレーションできることが示されました。現在ではNVIDIA FleXやUnityのObi FluidといったライブラリでPBD流体が提供されており、ゲーム中の水しぶきや液体表現に活用されています。

GPUによる高速処理と大規模シミュレーションの可能性

PBDのアルゴリズムは粒子単位・拘束単位で並列化しやすいため、GPUを用いた大規模シミュレーションにも適しています。実際、NVIDIAのFleXなどPBDベースの物理エンジンでは数千〜数万規模の粒子をGPU上で同時に計算し、布・剛体・流体など多様な要素をリアルタイムで相互作用させるデモが公開されています。粒子同士が拘束で結ばれた統一的な表現により、異なる種類の物体間の相互作用（例えば水と布、剛体と流体の双方向作用）も一貫した計算手法で高速に扱えることが確認されています。GPU計算により、従来は難しかった高解像度のクロスシミュレーション（細かい布地メッシュ）や大量の流体粒子による水シミュレーションも現実的なフレームレートで実行可能となっています。今後もハードウェア性能の向上に伴い、PBDを用いたより大規模で複雑なリアルタイム物理シミュレーションがゲームやVR、シミュレーショントレーニング等の分野で益々活用されていくでしょう。

ゲーム・映像分野における応用事例

PBDは既に数多くのゲームや映像制作で実用化されています。ゲーム分野では、例えばUnityエンジン向けのObiシリーズやUnreal Engineの布シミュレーション（旧NVIDIA PhysX APEX Clothなど）でPBDベースの手法が採用され、キャラクターの衣装や髪の物理挙動をリアルに演出しています。また、NVIDIA FleXはPBDによる流体・布・剛体の統一シミュレーションを可能にし、技術デモで多数の破片と液体が相互作用するシーンを実現しました。映像制作の分野でも、HoudiniのVellumソルバはPBDに基づいており、高速かつ安定に布や軟体のシミュレーションを行えるため映画やCMのVFX製作に活用されています。例えば複雑な衣服の動きや爆発シーンでの残骸表現など、以前は計算負荷の高かったシミュレーションがPBDによって効率化されてきています。これらの事例は、PBDの実用性と表現力の高さを示すものであり、リアルタイム性とビジュアル品質が両立可能な物理シミュレーション手法として、ゲーム・映像の現場で広く受け入れられています。

Position Based Dynamics (PBD)のリアルタイムシミュレーションにおける安定性とパフォーマンス

リアルタイムシミュレーションの要件とPBDの適合性

リアルタイム環境では、シミュレーションの安定性と計算速度が特に重要です。ゲームやインタラクティブアプリでは1秒間に数十回の更新（例えば60FPSで16ms以内）で物理計算を完了させる必要があり、計算負荷に制約があります。また、不安定なシミュレーションによる暴走は即座に映像の破綻やクラッシュにつながるため、手法の安定性は絶対条件です。PBDはこうした要件に非常によく適合しています。前述の通り、PBDの手法上、シミュレーションが時間刻みや入力条件に対して発散（数値爆発）しにくい特性があります。実際、拘束条件をきちんと設定していれば、時間ステップを大きくしても計算が破綻することはなく、その代わり拘束がやや緩く動く（物理的には柔らかくなる）だけで安定性自体は保たれます。この事実上の無条件安定性はリアルタイムシミュレーションにおける大きな強みです。逆に言えば、PBDは厳密な物理精度よりも視覚的な安定性を優先しているため、リアルタイム用途に求められる「見た目がそれらしく破綻しない挙動」を効率よく得ることができます。このように、PBDはリアルタイムの要求に合致した設計思想を持つと言えます。

制約解決の反復回数と安定性の関係

PBDでは拘束解決の反復回数を調整することで、シミュレーションの品質（精度）と計算コストをコントロールできます。反復回数を増やせば制約違反が減り結果が目標物理に近づきますが、その分だけ処理時間も増加します。反復回数が少なければ高速ですが、例えば布や流体では伸びやすさ・圧縮しやすさといった形で「柔らかい」挙動が現れます。重要なのは、反復回数を減らしても不安定にはならない点です。反復1回でもシミュレーションが発散することはなく、拘束が十分解決されない分だけ見かけ上の剛性が下がる（柔らかくなる）だけです。この性質はリアルタイム用途では有難く、制約違反が多少残っても見映えを保ちつつ計算負荷を削減する、といったトレードオフが可能です。実際、開発者は各制約タイプごとに必要最小限の反復回数を設定し、無駄な計算を省くチューニングを行います（多くの場合、各拘束に2〜3回程度の反復で十分な品質が得られます）。

時間ステップの選び方と数値爆発回避

PBDでは比較的大きな時間ステップでもシミュレーションが破綻しないため、リアルタイム用途では安定性確保のために極端に小さな$\Delta t$を選ぶ必要がありません。しかし、時間ステップを大きくし過ぎると反復回数との兼ね合いで拘束誤差が大きく残り、結果として動きが過度に減衰したり物体がめり込んだりする可能性があります。そのため、時間ステップと反復回数のバランスを取ることが重要です。一般に、要求されるシミュレーション精度に対して反復回数が足りないと感じる場合は、時間ステップをより細かく刻む（サブステップ数を増やす）ことが推奨されます。時間ステップを半分にすれば1ステップあたりの変化量が小さくなるため各拘束の収束が速まり、少ない反復でも高い精度が得られる傾向があります。実際、同じ計算コストなら「時間ステップを細かくして反復を減らす」方が「時間ステップ大きいまま反復を増やす」よりも品質向上効果が高いと報告されています。以上より、PBDでは数値爆発自体は起きにくいものの、望ましい見た目を得るために時間ステップを適切に設定し、必要であればサブステップ化で対応するのが実用的なアプローチとなります。

並列計算の導入によるパフォーマンス改善

リアルタイム性を追求する上で、PBDに並列計算を導入して高速化することも有効です。PBDの拘束解決は本来逐次的（前の拘束解決結果を次に反映する）ですが、独立した拘束同士は同時に処理することが可能です。また、ある程度の誤差を許容すれば全拘束を並列に計算し、各拘束から得られた位置修正を平均して適用するヤコビ方式を採用することもできます。ヤコビ方式（並列計算）はガウス・ザイデル方式に比べて収束が遅く反復回数を多く必要としますが、現代のGPUやマルチコアCPU環境では総合的にその方が高速になる場合もあります。実際、NVIDIA FleXや他のGPU物理エンジンでは多くの拘束を並列に処理するアプローチが取られています。このようにPBDはアルゴリズム上、高度な並列化によるパフォーマンス向上の余地が大きく、リアルタイム性を確保しつつ大規模なシミュレーションを実現する基盤となっています。

実用的なパフォーマンスチューニングの方法

PBDを用いたシミュレーションを実開発で調整する際には、いくつかのポイントがあります。第一に、サブステップ数（時間刻みの細分）と拘束反復回数の使い分けです。前述のようにサブステップを増やすことで安定性と品質を向上できますが、その分計算コストも増えます。開発者はシーンに応じてサブステップ数を調整し、最低限の反復回数で目標品質を満たすようにチューニングします。例えば、布が伸びて見える場合にはまずサブステップ数を増やして対処し、まだ気になるようなら拘束反復を増やす、といった手順です。第二に、拘束タイプごとの反復割り当てです。布やロープでは距離拘束に多めの反復を割く一方、剛体間の衝突拘束は多少粗くても目立たないため反復を減らす、といった調整が可能です。Obiエンジンでは拘束の種類ごとに個別の反復回数を設定でき、不要な部分に計算資源を割かないようにできます。第三に、他の物理エンジンとの統合における注意です。PBD系のシミュレーションと、従来型（速度ベース）の剛体エンジンを併用する場合、それぞれの時間ステップや解法の違いから不安定が生じることがあります。例えばPBD布でキャラクターに布を巻き付ける際、キャラクターを制御する剛体エンジン側が大きな時間ステップだと布との相互作用で振動が起きる可能性があります。このような場合、剛体エンジンの更新タイミングを細かくするか、PBD側のサブステップを同期させることで安定性を取り戻せます。総じて、PBDのパフォーマンスチューニングでは「できるだけ大きなタイムステップと少ない反復で許容範囲の品質を得る」ことを目標に、サブステップと反復数のバランス調整、拘束ごとの計算配分、他エンジンとの時間基準の合わせ込み等を行っていきます。

Position Based Dynamics (PBD)における制約の種類一覧と各制約の処理方法の解説

距離制約・角度制約など代表的な制約の分類

PBDで用いられる制約にはさまざまな種類があります。主な制約を挙げると、以下のような分類になります。
• 距離制約 (Distance Constraint): 2つの質点間の距離が一定の値を保つようにする制約です。布やバネの伸縮、剛体の形状維持などに広く使われ、PBDの基本的な制約となっています（詳しい処理方法は前述の通り）。
• 角度制約 (Angle Constraint): 質点同士や質点と固定軸との間の角度を保つ制約です。典型例は布の曲げ剛性を表現する二面角拘束（隣接する三角形ポリゴンのなす角度を一定に保つ）や、ヒンジジョイントのように回転角を制限する拘束です。角度制約により布の折れ曲がりにくさや関節の可動域制限を扱います。
• 剛体性を保つための拘束: オブジェクトを剛体的に振る舞わせるための制約です。複数の質点からなる物体の場合、その全ての距離を維持する多数の距離制約を入れることで剛体に近い挙動が得られます。また、質点群の相対的な配置を剛体変換のみで保つ形状マッチング拘束（shape matching）を導入し、物体全体の回転・並進を一括で調整する方法もあります。これらにより柔軟体を剛体のように振る舞わせることが可能です。
• 体積保持制約 (Volume Constraint): ソフトボディ内部の体積を一定に保つ制約です。例えば四面体メッシュを用いた弾性体では各四面体要素の体積が初期体積から変化しないような拘束を課せば、物体の圧縮・膨張を防ぐことができます。体積拘束は大きく変形して裏返ったメッシュ（反転現象）からの復元にも強く、ラバーバンドのような体積を保つ柔軟体表現に有効です。
• 密度制約 (Density Constraint): 流体パーティクルに対して近傍の粒子密度が目標値になるよう位置を調整する拘束です。Position Based Fluidsで導入されたもので、流体の非圧縮性（一定の密度）を維持する役割を果たします。粒子間の距離の集合的な制約とも言え、実質的に流体版の体積保持制約と捉えることができます。
• 衝突拘束 (Collision Constraint): オブジェクト同士や地形との衝突時に、相互の侵入を防ぐための制約です。質点が他の物体に入り込んだ場合に法線方向に押し出す形で位置を補正し、非侵入条件（他物体との重なりがゼロ）を満たすようにします。これは不等式制約の一種で、満たされない場合にのみ適用されるものです。衝突拘束により、PBDシミュレーション中の物体同士が不自然にめり込むのを防ぎます。
• その他の制約: この他にも、布の面積を維持するエリア拘束、ロープのねじれを表現する回転拘束、空気抵抗を近似するエアロダイナミクス拘束など、目的に応じた様々な制約が提案・実装されています。

剛体性を保つための拘束の導入方法

前述のように、剛体的な挙動をPBDで再現するには、構成する質点群の相対距離や配置を固定する拘束を導入します。最も単純な方法は全ての質点ペアに距離拘束を設定することですが、質点数が多い場合拘束の数も急増するため非効率です。そこで、剛体性を保つ工夫として形状マッチングの考え方が利用されることがあります。これは質点群の現在の配置と初期配置（剛体変形した場合の予測配置）を比べて、最も整合する剛体変換を求め、質点をその位置に引き寄せるというものです。MüllerらによるShape Matching手法では、この操作を高速に行うことで質点群全体を一つの剛体のように振る舞わせました。PBDにおいても特殊な拘束として剛体クラスタ拘束が実装されている場合があり、剛体オブジェクトを複数粒子で構成して内部の距離・角度関係を完全に固定することで、他の柔軟物との統一的な計算が可能です。このように、距離拘束の組み合わせや追加の剛体専用拘束によって、PBDで剛体運動を再現できます。

ソフトボディに特化した体積保持制約

ソフトボディ（可塑性のない弾性体）のシミュレーションでは、体積保持制約が重要な役割を果たします。例えばゼリー状の物体をPBDで扱う場合、変形によって体積が増減すると不自然なので、各要素の体積を初期値に保つよう拘束します。具体的には、四面体要素ごとに現在の体積$V$と初期体積$V_0$の差に基づき頂点を内外に動かすことで$V=V_0$に近づけます。体積拘束を導入することで、物体内部の容積が一定に保たれるため、押し縮めても風船のように膨らんだり潰れたりしにくくなります。特にPBDの体積拘束は安定性が高く、要素の反転が起きても速やかに元の体積に戻す効果があります。ただし、完全な非圧縮を保とうとすると剛性が上がりすぎて振動が急減衰する傾向があるため、必要に応じて反復回数を調整したり、後述するように他手法と組み合わせて物理精度を補完することもあります。

流体表現における密度制約の役割

流体シミュレーションでは、PBDの密度拘束（もしくは粒子間距離拘束の集合としての圧力拘束）が流体の挙動を支えます。密度拘束により流体粒子は常に目標密度（静止流体の密度）を保つように空間配置を調整され、結果として水や油などの液体がほぼ非圧縮性を示すようになります。具体的には、ある粒子の近傍粒子数が多すぎると互いに押し離され、スカスカであれば引き寄せられるという処理がなされます（PBFではこの計算を反復して密度誤差をゼロに近づけます）。密度拘束のおかげで、大きな時間刻みでも流体の体積が安定に保たれ、粒子ベースながら滑らかな流体挙動を得ることができます。ただし、密度拘束を厳密に満たそうとすると粒子配置の自由度が下がりすぎて現象によっては過度に安定化する（波がすぐ収まってしまう等）こともあるため、状況に応じて拘束の緩和（後述のComplianceの導入など）やサブステップ増加による対応が行われます。

複数制約を同時に解くための反復処理戦略

PBDでは複数種類の制約が同時に存在する場合でも、単一の統一的なソルバでそれらを解決します。各拘束はそれぞれ対象となる質点群を動かして制約を満たそうとしますが、ある拘束を満たすことで別の拘束が不満足になることもしばしばあります。そのため、前述したように全制約を一度では満たさず逐次的な反復によって徐々に同時満足に近づける戦略が取られます。基本的には一つの大きなループの中で距離・角度・体積・密度・衝突など全ての制約を次々に処理し、必要回数繰り返すことで全制約条件の誤差が収束していきます。このとき、制約適用の順序は厳密解には影響しないものの、有限回の反復では順序により若干結果が異なることがあります（ガウス・ザイデル法の性質）。そのため、順序の影響を減らす工夫として並列（ジャコビ的）な解法も利用されます。並列解法では一旦全拘束の修正量を計算してからまとめて適用するため順序依存性は解消しますが、その代わり収束にはより多くの反復が必要になります。実装上は、ガウス・ザイデル方式で少ない反復でも十分安定な場合は逐次解決を用い、そうでない大規模系ではGPUでの並列処理と十分な反復回数で収束させる、といった選択がなされています。重要なのは、PBDの枠組みにおいては全ての制約を統一的に扱えるため、開発者は個別の物理エンジンを統合する手間を省き、一つのソルバの中で剛体・布・流体などの相互作用を計算できることです。この統一ソルバによる反復戦略こそが、PBDがゲームやCGで広く用いられる理由の一つと言えるでしょう。

Position Based Dynamics (PBD)のメリットとデメリット: 他手法との利点・欠点比較

PBDが持つ数値的安定性の強み

PBDの最大のメリットはやはり数値的な安定性と堅牢性の高さにあります。強い外力や大きな時間刻みでもシミュレーションが破綻しにくく、結果が発散しないという性質は、他の陽的手法と比べて非常に有利です。この安定性のおかげで、ゲームなど視覚重視のシミュレーションでは「見た目に破綻しない」という安心感を持って大きな力や剛体同士の激しい衝突を扱えます。またリアルタイム性能の面でも、PBDは非常に高速に動作することが特徴です。微分方程式を解くのではなく制約処理の反復というシンプルなループで実装できるため、マルチスレッドやGPUによる並列化が容易でスケーラビリティが高いです。さらに、他の多くの物理エンジンと異なり単一のソルバで複数種の物理現象（布・剛体・流体など）を統合的に計算できるため、システム開発が容易でデータ構造も単純化できます。総じて、PBDは「安定・高速・統一化」という観点で大きな強みを持ち、ゲームを中心に広く受け入れられているのはこのためです。

実装容易性と開発者にとっての扱いやすさ

PBDは概念とアルゴリズムが比較的シンプルで、実装が容易な点も利点として挙げられます。微分方程式の数値解法（例えば陰積分でのヤコビアン行列構築など）の知識がなくとも、頂点の位置を繰り返し調整する直観的な手順で物理ライクな動きを得ることができます。このおかげで、ゲーム開発者が自前でクロスシミュレーションなどを実装する際にもPBDは取り組みやすく、多くの論文や実装例が公開されています。また、チューニングのしやすさも開発上のメリットです。例えば布の硬さやキャラクターのヒット時のリアクションなど、パラメータを多少大きく変動させてもシミュレーションが破綻しにくいため、安心して調整ができます。拘束の強さも反復回数やコンプライアンス値で調整でき、直感的に「もっと柔らかく」「もっと硬く」を実現しやすいです。さらに、PBDでは力やエネルギーを直接扱わないため、他のアニメーション制御やゲームロジックと干渉しにくいという利点もあります。必要であればシミュレーション途中でオブジェクトの位置を手動で書き換えるなど強引な操作も可能で、物理演算結果と演出を融合させやすいのもPBDの扱いやすさの一つです。

精度や物理的正確性に関する課題

PBDのデメリットとしてまず挙げられるのは、物理的な精度の低さです。安定性と引き換えに、PBDは厳密な力学法則から乖離した挙動を示すことがあります。例えば、PBDでは拘束の剛性（硬さ）が時間ステップや反復回数に依存してしまい、反復を増やすほど系が不自然に硬直化する傾向があります。その結果、シーン内の他の物体まで想定以上にカチカチになるなど、パラメータ調整が相互に影響し合う問題が生じます。また、PBDには力やエネルギーの概念が無いため、運動量やエネルギー保存則が成り立ちません。拘束を満たすために速度やエネルギーが系から取り除かれていく（数値的な減衰）傾向があり、これはしばしば物理的な不正確さとして現れます。さらに、PBDには拘束力（反作用力）の概念が無いため、例えば剛体同士が押し合った際の実効的な接触力を取得することが困難です。そのため、力が重要なシミュレーション（触覚フィードバックやエンジニアリング用途の解析など）にはPBDは適しません。要するに、PBDは「見た目がそれらしく安定して動けば良い」という用途に特化しており、厳密さや測定可能な物理量の再現には向かないという欠点があります。

大規模シミュレーションでの制約解決の難しさ

PBDは反復アルゴリズムであるため、シミュレーション規模が大きくなると収束までに必要な計算量が増大する点にも注意が必要です。他手法、例えば行列を直接解く陽解法・陰解法ではシミュレーション規模に対してアルゴリズムのオーダーが異なるため、一概に比較はできませんが、PBDでは拘束数に比例した計算を毎ステップ行う必要があります。高解像度な布メッシュや粒子数の非常に多い流体などをCPUだけでシミュレーションしようとすると、反復回数を十分に取れず見た目に拘束違反が残る可能性があります。この問題は前述したGPU並列化によって大幅に緩和できますが、そうした環境が使えない場合はシミュレーション規模に合わせて時間ステップを小さくするといった対処が必要です。また、拘束条件同士が強く相反するような状況（例: 剛体の高い塔のようなスタック構造の安定化）は、PBDでは収束に時間がかかるケースがあります。他手法では積分スキームやソルバの工夫でこのような強い相互作用を高速に解くことがありますが、PBDでは基本的に逐次的な位置補正で対応するため、場合によっては反復回数を極端に増やす必要が出てきます。総じて、PBDは中〜小規模の問題には強いものの、極端に大規模・高剛性の問題では効率の面で不利になる可能性がある点は留意が必要です。

他のシミュレーション手法との組み合わせによる改善点

PBDの欠点を補うために、近年はいくつかの拡張や他手法とのハイブリッドが提案されています。その一つが拡張PBD (XPBD)で、拘束にコンプライアンス（弾性係数）を導入することで時間ステップや反復回数に依存しない物理パラメータ設定を可能にした手法です。XPBDでは各拘束に微小な「緩み」を許容することでエネルギー的に整合の取れた解法となっており、従来PBDでは難しかった高剛性と安定性の両立や、拘束力の算出が可能となっています。また、ソフトボディに関してはPBDの体積拘束と有限要素法（FEM）を組み合わせるアプローチもあります。大まかな変形はPBDで安定に計算しつつ、小さな歪みの応力や振動モードはFEMで補正することで、安定性と精度を両立しようとする試みです。さらに、剛体シミュレーションではPBDの安定性を活かしつつ、摩擦やスタッキング問題に対処するためにLCPソルバ（速度ベースの手法）と併用するケースもあります。実際のゲームエンジンでは、キャラクターや乗り物など主要な剛体は従来型エンジンで扱い、布や髪・流体といった部分のみPBDでシミュレーションするといったハイブリッド構成が一般的です。その際に両者の相互作用で不安定が起きないよう、時間ステップの同期や力のやり取りの調整が工夫されています。このように、PBD単体ではカバーしきれない現象や精度要求に対しては、他の手法の長所を取り入れることでシミュレーション品質を高めることが可能です。

Position Based Dynamics (PBD)と他の物理シミュレーション手法の比較: 特徴と違い

従来の質点ばねモデルとの比較

質点ばねモデルは各質点をバネ（弾性要素）で結び、力学的な方程式（フックの法則など）に基づいてシミュレーションする手法です。一方のPBDはバネの代わりに「距離が一定」という拘束条件で質点を結びます。質点ばねモデルではバネ定数や減衰係数によって素材の弾性や振動を調整できますが、高いバネ剛性を扱うには微小な時間刻みが必要で、オイラー積分では容易に発散してしまう傾向があります。PBDはこの問題に対処するために生まれた経緯があり、ばねモデルで不安定になるような高張力の布や柔らかい物体でも、拘束による直接位置修正で安定に扱えます。ただし物理精度の面では、質点ばねモデルはパラメータ（バネ定数など）が実測値に対応しやすいのに対し、PBDの拘束剛性は反復回数など計算パラメータに依存するため厳密な調整が難しいです。また、質点ばねモデルはエネルギー保存則に従った振る舞い（適切な減衰がなければ振動が続く等）を示すのに対し、PBDは数値的にエネルギーが減衰しやすく、振動が早期に収束してしまう傾向があります。総じて、質点ばね系は物理的な解釈のしやすさとリアルな挙動に優れ、PBDは安定性と扱いやすさに勝ると言えます。用途に応じて、ゲームの布や簡易シミュレーションにはPBD、精密な解析や長時間の物理挙動を要する場合には質点ばねモデル（あるいはそれを発展させた手法）を選択するのが一般的です。

有限要素法（FEM）との精度とコストの違い

有限要素法（FEM）は連続体力学に基づき物体を細分化要素（要素ごとの変形エネルギー）でモデル化する高精度な手法です。FEMでは材料のヤング率やポアソン比といった物性値から実際の変形挙動を予測でき、微小振動や応力分布なども物理的に妥当な結果が得られます。一方、PBDは主に距離拘束や体積拘束によって見た目上の形状維持を図る手法であり、物性パラメータから挙動を直接決定することは困難です。精度面ではFEMが優れていますが、その代償として計算コストが非常に高くなります。特に陰解法を用いたFEMソルバでは大規模な線形方程式を毎ステップ解く必要があり、リアルタイムでの実行は難しい場合があります。一方PBDは前述の通り高速で、大規模なメッシュでもリアルタイム可能な範囲で動作します。ただしPBDでは変形による応力や反力を直接得ることができず、こうした点でも工学シミュレーションにはFEMが不可欠です。近年では、FEMの精度とPBDの安定性を組み合わせるアプローチも存在します。例えば大域的な変形はPBDで計算し、詳細なひずみエネルギーの計算だけFEMで補うといったハイブリッド法です。とはいえ、純粋な比較ではFEMは高精度だが重い、PBDは軽量だが近似的という違いが明確であり、用途に応じて使い分けられています。実際、オフラインの映画VFXで高品質な布変形を求める場合はFEM系ソルバが選択されることもありますが、ゲームやインタラクティブ用途では多少の誤差よりも安定性・速度が重視されるためPBDが好まれる傾向にあります。

剛体ダイナミクスとPBDのアプローチの差異

剛体ダイナミクス（剛体シミュレーション）は通常、運動方程式に基づき剛体の並進・回転運動を解きつつ、衝突時には反発力や摩擦力をインパルス（衝撃）として速度に与える手法です。代表的な物理エンジン（BulletやPhysXなど）はこのアプローチを採用しており、剛体間の衝突は速度の跳ね返り（反発係数）や接触面での摩擦係数によってリアルに表現されます。一方PBDでは、衝突は位置の補正によって扱われ、基本的に非反発・非摩擦の解決となります（めり込みを解消するだけで跳ね返りは表現されない）。摩擦や反発を表現するには、拘束解決後に速度を手動で調整するか、追加の拘束として摩擦拘束を導入する必要があります。また剛体の積み重ね（スタック）に関しては、従来手法ではLCPソルバや順序解決（shock propagation）で安定化を図りますが、PBDでも同様に拘束の順番や重み付けを工夫することで対応可能です。性能面では、剛体エンジンは接触解析にソルバ時間を要する一方、PBDは粒子レベルで接触を処理するため多数の接触でもスケーラブルに対処しやすい利点があります。ただし、高精度な摩擦挙動（例えば静止摩擦で物体が坂に留まる等）を厳密に再現するのはPBD単独では難しく、ゲームでは剛体エンジンの堅実な力学計算に軍配が上がる場面も多いです。そのため、剛体の基本挙動は従来手法で、布や破片などはPBDでといった使い分けも行われています。まとめると、剛体ダイナミクスは物理法則の忠実な再現に強く、PBDは安定性と大量データ処理に強いと言えます。

Smoothed Particle Hydrodynamics（SPH）との比較

SPH（スムース粒子流体力学）は粒子ベースで流体をシミュレーションする手法で、各粒子に物理的な力（圧力勾配や粘性抵抗など）を計算して加え、ニュートンの運動方程式を解くことで流体挙動を再現します。SPHでは流体の物性（圧縮率や粘度）を直接パラメータとして与えられる利点がありますが、圧力による反発力が大きい場合などに数値的な安定性を保つことが難しく、時間ステップを極めて小さく取るか、高度な数値拡散や制限を導入する必要があります。PBDを応用したPosition Based Fluids (PBF)は、この問題に対して粒子配置そのものを調整することで非圧縮性を維持するアプローチを取ります。PBFでは圧力による力の計算を迂回し、粒子間の距離（密度）制約を解決することで直接目標密度に収束させるため、大きな時間刻みでも液体の圧縮を防ぎ安定に計算できるというメリットがあります。一方で、物理的な圧力場を計算しない分、微細な流体挙動（波の伝播速度や乱流の細かい表現など）がやや現実とは異なる結果になる場合があります。また、表面張力や粘性といった効果もPBDでは個別の拘束やアルゴリズムを追加する必要があり、SPHのように物理モデルに基づく力の項として統一的に扱うのは難しい側面があります。しかしながら、多くのゲーム用途ではPBFの安定性と高速性が恩恵となるため、リアルタイム流体にはPBF系手法が用いられることが増えています。一方、学術的・工学的な流体シミュレーション（例えば流体の圧力分布解析など）では依然としてSPHや格子法など物理に忠実な手法が選択される傾向があります。

実用上の選択指針としての手法比較

以上の比較を踏まえ、実用上は求められる精度と速度のバランスによって手法を選択することになります。リアルタイム性が求められ、多少の不正確さよりも「計算が安定して速く終わること」が重要である場合、PBDは非常に有力な選択肢です。例えばゲームにおける衣服や髪、破片、水しぶきなどはPBDでシミュレーションすることで開発コストと実行速度の両面でメリットがあります。一方、シミュレーション結果の物理的妥当性が重視される場合（工学シミュレーション、VRでの触覚フィードバック、高精細なVFXなど）には、FEMや伝統的な剛体力学、SPHといった手法が選ばれるか、PBDであれば拡張版のXPBDや補助的な力学計算を組み合わせるなどの工夫が必要です。幸い、現在の物理エンジンやシミュレーションSDKは複数手法のハイブリッド運用をサポートしており、ケースバイケースで最適な手法を適用できます。開発者はシーンの要求に応じて、「安定で速いPBD」と「厳密でリアルな従来手法」のトレードオフを見極めつつ、適切な物理シミュレーション手法を選択することが重要です。