公開2025.09.01更新2026.07.04 136 人が閲覧（直近 30 日） AI

ペントミノとは｜12種類のピース・ルール・解き方のコツと全解数を解説

ペントミノは、5つの正方形をつなげた形でできる12種類の図形を使うパズルです。読みは「ペントミノ」（英語pentomino）で、語源は「ペンタ（5）＋ドミノ」。F・I・L・N・P・T・U・V・W・X・Y・Zの12ピース（合計60マス）を、回転や裏返しを使って盤面に隙間なく敷き詰めます。落ち物ゲームのテトリスがこの系統のパズルから着想を得たという逸話でも知られます。この記事では、12種類のピース、ルール、人力で解くコツ、そして6×10で2339通りといった全解数まで、ペントミノの基礎をまとめて解説します。

まとめ：ペントミノの要点

ペントミノは「5マスの図形を12種類すべて使って盤面を埋める」パズルです。12ピースは合計60マスなので、盤面も60マスである必要があり、6×10・5×12・4×15・3×20の長方形が代表的です。ピースは回転と裏返しが自由で、重ね置きと盤面外へのはみ出しは禁止。解くコツは、置き場所が限られる難しいピース（X・W・Z・F・U）と盤面の隅を先に埋め、まっすぐなIピースを最後に残すことです。全解数は計算機で数え上げられており、6×10は2339通り、最難の3×20はわずか2通り。以下で12種類のピース、ルール、解き方のコツ、全解数、立体版の順に見ていきます。

ペントミノとは｜5マスでできる12種類の図形パズル

ペントミノは、正方形を5個、辺どうしでつなげてできる図形の総称です。複数の正方形を連結した図形を「ポリオミノ」と呼び、ペントミノはそのうち5マスのものを指します。回転・裏返しで重なる形を同じとみなすと、ペントミノはちょうど12種類になります。これを「自由ペントミノ」と呼びます。名称は、5を表す接頭辞「ペンタ」と、2マスの「ドミノ」を組み合わせた造語で、数学者ソロモン・ゴロムが1953年に命名し、のちに著書でポリオミノの理論を体系化しました。パズルとしては、12ピース（5マス×12＝60マス）を使って指定の盤面を完全に埋めるのが基本の遊び方です。

ポリオミノの仲間｜テトロミノ・ヘキソミノ・ヘプトミノとの関係

ポリオミノは、つなげる正方形の数で呼び名が変わります。4マスは「テトロミノ」（テトリスのブロックがこれで、自由形は5種類）、5マスがペントミノ（12種類）、6マスは「ヘキソミノ」（35種類）、7マスは「ヘプトミノ」（108種類）です。マス数が1つ増えるごとに種類が急増し、敷き詰めの難しさも跳ね上がります。ペントミノの12種類は、種類の多さと扱いやすさのバランスがよく、パズルとしても教材としても定番になっています。なお、裏返しを別の形として区別する「片側ペントミノ」では18種類、回転も区別する「固定ペントミノ」では63種類と数が変わります。通常のパズルでは裏返しを同一視した12種類を使います。

12種類のペントミノピース｜F・I・L・N・P・T・U・V・W・X・Y・Z

12種類のピースは、形が似たアルファベットで呼び分けます。FILPNTUVWXYZの12文字で、とくにTUVWXYZはアルファベット末尾の連続した文字がそのまま形の名前になっています。Iは一直線、Lは鉤型、Tはティー字、Uはコの字、Xは十字、Vは直角、というように字形を覚えると見分けやすくなります。各ピースは対称性が異なり、扱いやすさに差が出ます。

ピース	形の特徴	向きの数
X	十字	1（全対称）
I	一直線5マス	2
T・U・V・W・Z	対称性あり	4
F・L・N・P・Y	非対称	8

「向きの数」は、回転と裏返しで作れる異なる配置パターンの数です。Xは十字型で回しても裏返しても同じなので1通りしかなく、置ける場所が限られます。逆にF・L・N・P・Yは非対称で8通りの向きを持ち、柔軟に使えます。これらの向きの総数（1＋2＋4×5＋8×5）は、回転を区別して数えた固定ペントミノの63種類に一致します。この向きの数の違いが、後述する解き方のコツに直結します。

ペントミノパズルのルールと法則｜60マスを隙間なく埋める

ルールはシンプルです。用意された12ピースをすべて使い、盤面を隙間なく埋め尽くせば完成です。守るべき制約は次の3つだけです。ピースどうしを重ねて置かない、盤面の外にはみ出さない、空きマスを残さない。ピースは90度ずつの回転と裏返しが自由にでき、向きを変えて配置できます。

ここで重要な「法則」が、盤面のマス数です。12ピースは合計60マスなので、全ピースを使うには盤面がちょうど60マスでなければなりません。長方形なら6×10・5×12・4×15・3×20の4種類が該当します。1×60や2×30は、幅が狭すぎて多くのピースが入らないため解が存在しません。盤面の途中で残りマス数を数え、5で割り切れなくなったら、その配置では完成できないと判断できます。これは解くときの有力な手がかりになります。

ペントミノの解き方のコツ・攻略法

ペントミノは試行錯誤のパズルですが、闇雲に置くより効率の良いセオリーがあります。考え方の軸は「自由度の低いものから埋める」ことです。

まず、置き場所が限られるピースと盤面の隅を先に処理します。十字型のXは向きが1通りしかなく周囲に空間を要求するため、最初に位置を決めてしまうと後が楽になります。同様に、W・Z・F・Uといった凹凸の強いピースも早めに配置します。盤面の角には、V（直角）やL、Pなど角になじむ形を当てると収まりやすくなります。逆に、一直線のIやティー字のTは融通が利くので、最後の細長い隙間や調整用に残します。もう一つの実戦的なコツが、こまめな「5の倍数チェック」です。ピースを置いた時点で、空き領域が小さなブロックに分断され、そのどれかが5マス未満になっていたら、そこにはもうピースを入れられないので、その手は失敗です。早めに気づいて置き直すほど、無駄な手戻りが減ります。隅・難しいピース・5の倍数チェックの3点を意識するだけで、完成率は大きく上がります。

盤面ごとの全解数（答え）｜6×10は2339通り

ペントミノの全解は計算機で数え上げられており、盤面ごとに解の数が分かっています。下の数は、盤面を回転・裏返ししただけの同じ解を1つに数えた「本質的に異なる解」の数です。

盤面	全解数
6×10	2339
5×12	1010
4×15	368
3×20	2
8×8（中央2×2穴）	65

もっとも有名なのが6×10で、解は2339通りあり、人間が解くなら1つ見つければ十分という難易度です。一方、細長い3×20はわずか2通りしかなく、自由度が極端に低いため人力では最難関とされます。6×10の全2339解は1960年にハーゼルグローブ夫妻が計算機で数え上げ、以来繰り返し検証されてきました。長方形以外では、8×8の正方形の中央を2×2だけ空けた盤面が有名で、こちらは同じく対称解を同一視して65通り。1958年にダナ・スコットが解析した古典的な問題です。

立体ペントミノ（ペンタキューブ）｜3×4×5の箱詰め

ペントミノを立体化した「ペンタキューブ」もあります。各ピースを厚み1の立体ブロックとみなし、12個（体積60）を直方体の箱に詰めるパズルです。平面版が90度回転と裏返しだけだったのに対し、立体版は空間内のあらゆる向き（最大24通り）に回せるため、探索すべき可能性が一気に増え、難易度も上がります。代表的な箱のサイズと解の数は、3×4×5が3940通り、2×5×6が264通り、2×3×10が12通りです。立体版は内部が見通せず手探りになるため、全解を調べるにはコンピュータの利用が前提になります。

ペントミノをコンピュータで解く｜全解探索の考え方

全解の数え上げや難問の答え合わせには、プログラムで解を探索する方法が使われます。基本は深さ優先探索（バックトラッキング）で、空いているマスにピースを順に置いていき、置けなくなったら直前の手に戻って別の置き方を試す、という手順を繰り返します。前述の「空き領域が5の倍数か」を判定して無駄な枝を早めに切る枝刈りや、向きの少ないXから置く順序の工夫が効きます。こうした探索の土台には、戻り処理を支えるスタックなどのデータ構造の理解が役立ちます。さらに高速な方法として、盤面を「各マスをちょうど1つのピースで覆う」という被覆問題（Exact Cover）に置き換え、ドナルド・クヌースのAlgorithm XとDancing Links（DLX）で解く手法が知られています。これは敷き詰めを制約条件と目的をもつ最適化問題として定式化する発想に近く、数独ソルバーなどにも応用されています。とはいえ手で楽しむ分にコンピュータは要らず、前章のコツを押さえれば十分に解き進められます。